On microlocal analyticity of solutions of first-order nonlinear PDE

— We study the microlocal analyticity of solutions u of the nonlinear equation ut = f(x, t, u, ux) where f(x, t, ζ0, ζ) is complex-valued, real analytic in all its arguments and holomorphic in (ζ0, ζ). We show that if the function u is a C2 solution, σ ∈ CharLu and 1 i σ([Lu, Lu]) < 0 or if u is a C3 solution, σ ∈ CharLu, σ([Lu, Lu]) = 0, and σ([Lu, [Lu, Lu]]) 6= 0, then σ / ∈WFau. Here WFau denotes the analytic wavefront set of u and CharLu is the characteristic set of the linearized operator. When m = 1, we prove a more general result involving the repeated brackets of Lu and Lu of any order. Résumé. — Nous étudions l’analyticité microlocale des solutions de l’équation non linéaire ut = f(x, t, u, ux) où f(x, t, ζ0, ζ) est une fonction analytique réelle, à valeurs complexes, et holomorphe en (ζ0, ζ). Nous montrons que si u est une solution de classe C2, σ ∈ CharLu et 1 i σ([Lu, Lu]) < 0, ou si u est une solution de classe C3, σ ∈ CharLu, σ([Lu, Lu]) = 0 et σ([Lu, [Lu, Lu]]) 6= 0, alors σ 6∈WFa(u). Ici, WFa(u) désigne le front d’onde analytique de u et CharLu l’ensemble caractéristique de l’opérateur linéarisé. Quandm = 1, nous démontrons un résultat plus général faisant intervenir les crochets des opérateurs Lu et Lu de tout ordre.